第56回：
流沙河岸，造桥选址两茫茫
集思广益，众人献策解疑难
话说八戒对师父和猴哥在一起觉得有点奇怪，解决了池塘扩建问题后八戒禁不住对师父问道：
\"师父，您怎么和大师兄在一起呢？\"
\"我云游到花果山时，恰好你沙师弟打电话给你大师兄，说他准备在流沙河建一座桥，邀请你大师兄前去帮他策划一下。\"师父说，\"为师感觉已经好久没见到你们了，所以就跟你大师兄一起过来了。\"
原来，从花果山和高老庄去沙河市（流沙河）都要先经过桃花岛，再到流沙河，而到达流沙河岸边时需要转换乘船过渡，上岸后再乘车才能到沙河市。唐僧每次去找沙僧都感到交通十分不便，曾在一次闲谈中他建议沙僧牵头筹建流沙河大桥，一来既可以方便三师兄弟的往来，二来又能造福当地百姓。经过一段时间的筹备，沙僧终于募捐到了建桥的费用，并成立了建桥指挥部，指挥部成员由桃花岛和沙河市两地政府官员及村民代表组成。
指挥部一成立，桃花岛和沙河市两地政府负责征地、拆迁工作，而把大桥选址全权交给沙僧负责。
翌日，师徒三人驱车到达桃花岛，遇上沙僧正在召开征求大桥选址意见的会议，双方代表一致认为：大桥的选址务必符合两个条件：
第一，大桥必须与河岸垂直；
第二，为了这项工程（包括修路和造桥）造价成本压缩到最低水平，大桥的位置必须使桃花岛到达大桥一端的距离，过桥后大桥的另一端到沙河市这两部分路程之和最短.
沙僧见师父和两位师兄来了之后宣布会议暂停，带领参会人员和师父他们进行实地勘察。
大家发现流沙河两岸是互相平行的，桃花岛位于河的上游，沙河市位于下游，这才让大家感觉到大桥的位置选择显得异常困难，十分棘手.
勘察结束后回到指挥部，大家继续开会，讨论大桥选址问题解决方案。
会议一开始，沙河市的沙市长打着官腔说：\"在市委市政府的领导下，在两地百姓的支持下，沙河大桥工程工作如期全面展开。修路造桥是造福子孙后代的千秋伟业，功德无量，希望大家认真遵照市委市政府的精神，尊重科学，修好路，架好桥。大家有什么意见和建议尽管畅所欲言。\"
\"大家请看，这是我刚才根据勘察情况所画的两地一河示意图。\"沙市长的话音刚落，悟空就在电子大屏幕上展示出桃花岛、流沙河和沙河市位置的示意图（如图1）.
看着电子大屏幕上的两地一河示意图，大家心里都在想着同一个问题：大桥PQ的位置究竟应选在哪里，才能使A到B的路程最短呢？
桃花岛的花岛主看了下示意图后说：\"根据'两点之间，线段最短'，连结A和B分别交河两岸于M、N，然后把大桥的两端选在M、N两处不就可以了吗？\"
\"这样不行的花岛主，你是不是眼花啦。\"八戒开玩笑地反对说，\"你没看见桃花岛A与沙河市B两处不在流沙河的同一水平位置上吗？按照你的方案，路程虽然最短没有错，但建起来的大桥与河岸是不垂直的。不符合大桥建造的第一个要求.\"
\"是啊，花岛主，大桥应该与河岸垂直才算是科学、合理的.\"沙僧说，\"一来可以使大桥更加稳固，二来能使大桥长度最短，成本最省。\"
\"桃花岛A与沙河市B两地往来的百姓要走的路线是从A到B，中间得过一条与河岸垂直的大桥PQ，他们走的路线就是A→河西桥头P→河东桥头Q→B.\"八戒说，\"现在难办的是河两岸的桥头究竟应选在哪里，才能使从A到B的路程最短？\"
\"根据'垂线段最短'原理，\"沙河市一位代表说，\"我看从A直接开一条与河岸a垂直的公路到垂足C，再从点C处造桥到河岸b的点D处，最后直接由点D开公路到点B不就可以了吗？\"
\"这种方案我也想过，\"桃花岛村民代表说，\"可是无法说明A→C→D→B这条线路的路程是最短的.\"
\"刚才大家的意见、建议都很好，虽然你们这些方案都不合理，但给了我很重要的启发，我终于找到了办法.\"悟空说，\"不论桥建在何处，桥的长度PQ总是不变的，因此，A到B的路程AP+PQ+QB的最短路线只需要考虑AP+QB最短就可以了。\"
\"这一点我早已考虑到了，但仍然是找不到桥的位置。\"八戒说。
\"桥的位置PQ之所以难于确定，是因为P、Q两点都是动点。\"悟空说，\"我们暂且把其中一个点作为是确定的，比如点Q，则沙河市B到Q的距离也就确定了，此时点P也确定，点A也随之确定（如图2）。\"
\"但是，点Q应再哪里才能使AP+QB最短呢？\"众人还是不解。
\"大家是否还记得两条线段和最小的其他问题的解法？\"悟空问。
\"这个当然记得。\"八戒说，\"但以前见过的都是两条线段和最小问题中的'两条线段'都是有一个公共点，此时只需要使这两条线段的三点共线，让两条线段拼成一条线段。可是这里的'两条线段'没有公共点，怎么拼成一条线段呢？\"
\"八戒终于问到点子上了。\"悟空说，\"我们这里点Q的位置，其目的也是要让AP、QB这两条线段能够拼成一条线段。而这两条线段要拼成一条线段，它们首先必须满足什么条件呢？\"
\"平行。\"大家异口同声答道。
\"对极了！\"悟空说，\"在AP∥QB的条件下，联想到平行四边形，延长BQ到C，使QC=AP，连接AC，则四边形APQC是平行四边形，从而AC∥PQ，且AC=PQ，此时能够确定点C的位置吗？\"
\"完全可以的。\"八戒说，\"因为PQ与河岸a、b垂直，所以AC与河岸a、b也是垂直的。\"
\"对极了。大家请看如图3。\"悟空说，\"第一，过点A作河岸a、b的垂线ADE，D、E为垂足；
第二，在AD上截取AC等于桥PQ的长（即DE的长）；
第三，连接BC交b于Q；
第四，过点Q作QP⊥a，P为垂足；
第五，连接AP。
则折线AP—PQ—QB就是A到B的最短路线，P、Q为大桥的位置。\"
\"大圣，你怎么知道此时A→P→Q→B的路程是最短的呢？\"花岛主不解.
\"是啊，悟空，修路造桥可是千秋万代的事，路程差一里，所影响的费用那可是不计其数啊！\"唐僧语重心长地说.
\"放心吧师父.\"悟空胸有成竹地说，\"你们看：由作图过程可知AE∥PQ，且AE=PQ，所以四边形APQE是平行四边形，所以AP=EQ，因此，A→P→Q→B的路程就是AP+PQ+QB……\"
\"你怎么知道AP+PQ+QB是从A到B的最短路线呢？\"八戒打断悟空反问道.
\"首先我们注意到从A到B不论走哪条路，都要经过一条与河岸垂直的大桥的长，在AP+PQ+QB中，PQ就是大桥的长，因此，要说明AP+PQ+QB是最短的路线，只须说明AP+QB是最短的路线就可以了.\"悟空解释说，\"因为AP+QB=EQ+QB=EB，由此可见，河东岸的桥墩要不是建在点Q处，则总有EQ+QB大于EB是吧？因此，这样选择出来的点Q是河东岸桥墩的最佳的位置.\"
\"原来如此啊！\"听完悟空的解释，大家终于舒了口气.
欲知后事如何？请看下回分解.
